\renewcommand\le\leqslant \renewcommand\ge\geqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \DeclareMathOperator\tr{tr}
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これは，数理物理 Advent Calendar 2018 の21日目の記事です． 昨日は hattan0523 さんのAuter-Townes 効果についてでした．
k を（標数 0 の）体とします．物理学では，基本的に k = \mathbb{R} か k = \mathbb{C} の場合のみを考えればよいでしょう． k 上のLie 代数（Lie algebra）とは，k 上のベクトル空間 \frk g であって，交代的な双線型写像 \brk{\cdot, \cdot} \colon \frk g \times \frk g \to \frk g （線型写像 \brk{\cdot, \cdot} \colon \frk g \wedge \frk g \to \frk g と言ってもよい）が存在し，Jacobi恒等式 \brk{x, \brk{y, z}} + \brk{y, \brk{z, x}} + \brk{z, \brk{x, y}} = 0 が任意の x, y, z \in \frk g に対して成り立つものをいいます．
Lie 代数 \frk g の部分 Lie 代数（Lie subalgebras）とは，\frk g の部分空間 \frk h \subset \frk g であって，任意の x, y \in \frk h に対して \brk{x, y} \in \frk h となることをいいます．
Lie 代数 \frk g のイデアル（ideal）とは，\frk g の部分空間 \frk h \subset \frk g であって，任意の x \in \frk h と y \in \frk g に対して \brk{x, y} \in \frk h となることをいいます．容易に分かるように，Lie 代数のイデアルは部分 Lie 代数になります．
Lie 代数間の写像 \varphi \colon \frk g \to \frk h が Lie 代数準同型（Lie algebra homomorphism）であるとは，線型写像であって，任意の x, y \in \frk g に対して， \varphi (\brk{x, y}) = \brk{\varphi (x), \varphi (y)} となることをいいます．Lie 代数準同型の核はイデアルであり，像は部分 Lie 代数です．
最も身近な Lie 代数の例は \frk{gl} (n, k) でしょう．これは，ベクトル空間としては k 上の n 次行列全体 M (n, k) であり，その上のブラケットを x, y \in M (n, k) に対して \brk{x, y} := x y - y x と定めたものです．左辺は行列の積および差です．これが実際に k 上の Lie 代数となることは，簡単な計算によって確かめられます．
\frk{gl} (n, k) のイデアル \frk{sl} (n, k) := \{ x \in \frk{gl} (n, k) \mid \tr x = 0 \} も重要です．
同様に，k 上ベクトル空間 V の自己準同型全体 \End (V) に \brk{f, g} := f \circ g - g \circ f \quad (f, g \in \End (V)) として Lie 代数の構造を入れたものを \frk{gl} (V) と書きます．
k 上 Lie 代数 \frk g の表現（representations）とは，k 上ベクトル空間 V と Lie 代数準同型 \rho \colon \frk g \to \frk{gl} (V) のペアのことをいう．誤解の恐れがない場合，V や \rho のことを表現と呼ぶこともある．V を\frk g 加群（\frk g-module）ともいう．
表現には色々な側面がありますが，そのうちの一つは「Lie 代数という抽象的な概念を，\frk{gl} (V) という具体的で扱いやすいものを通じて調べる」ことです．
Lie 代数の表現についての詳細は Humphreys を読んでもらうこととして，具体的に \sl := \frk{sl} (2, k) の表現を考えます．
\sl の基底として \begin{align*} e &:= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ f &:= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ h &:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*} を取ります．
k [x, y] を k 上の（可換な）2変数多項式環とし，k [x, y]_m \subset k [x, y] を m 次斉次多項式と 0 からなる集合とすれば，k [x, y]_m は m + 1 次元ベクトル空間であり，ベクトル空間として k [x, y] = \bigoplus_{m = 0}^\infty k [x, y]_m となっていることが分かります．
今，\frk{sl} (2, k) を k [x, y] 上の微分作用素として次のように作用させます：P (x, y) \in k [x, y] に対して \begin{align*} (e P) (x, y) &:= x \frac{\partial P}{\partial y} (x, y), \\ (f P) (x, y) &:= y \frac{\partial P}{\partial x} (x, y), \\ (h P) (x, y) &:= x \frac{\partial P}{\partial x} (x, y) - y \frac{\partial P}{\partial y} (x, y). \end{align*}
これが実際に \sl の表現となることは簡単な計算により分かります．また，k [x, y]_m は \sl の作用で不変です．すなわち，\sl \cdot k [x, y]_m \subset k [x, y]_m となります．
この表現を (V_m := k [x, y]_m, \rho_m) と書くことにします．V_m の基底 \{ x^i y^{m - i} \mid 0 \le i \le m \} について \rho (e), \rho (f), \rho (h) をそれぞれ行列表示すれば，とても簡単な行列になっていることが簡単に分かります．
さて，この表現を用いて V_m \otimes V_m を \sl の表現を作りましょう．（量子力学的にも重要です．）そのために \sl の普遍包絡環が必要です．
3つのベクトル \widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h} から作られるテンソル代数 T = T \{ \widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h} \} を考える．\sl の関係式に対応する部分集合 \{ \brk{\widetilde{e}, \widetilde{f}} - \widetilde{h}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{e}} - 2 \widetilde{e}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{f}} - 2 \widetilde{f} \} から生成される T の（代数としての）イデアルを I \subset T とおく： I := ( \brk{\widetilde{e}, \widetilde{f}} - \widetilde{h}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{e}} - 2 \widetilde{e}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{f}} - 2 \widetilde{f} ) このとき，商代数 U (\sl) := T / I を \sl の普遍包絡環（universal enveloping algebra）という．\widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h} \in T に対応する U (\sl) の元を単にそれぞれ e, f, h と書く．
k 上代数 A の表現（representations）とは，k 上ベクトル空間 V と代数準同型 \rho \colon A \to \End (V) のペアのことをいう．その他の言葉も Lie 代数の場合と同様に定義される．
\sl の表現から自然に U (\sl) の表現を作ることができます．すなわち，v = v_1 \otimes \dotsc \otimes v_n \in U (\sl) （v_i \in \sl）と P(x, y) \in V_m に対して (v P) (x, y) := ( v_1 ( \dotsb (v_n P) \dotsb ) ) (x, y) と帰納的に定まります．この表現を \sl の場合と同じ記号で (V_m, \rho_m) とします．
V_m \otimes V_m を U (\sl) の表現と考える前に，代数準同型 \Delta \colon U (\sl) \to U (\sl) \otimes U (\sl) を \Delta (v) := v \otimes 1 + 1 \otimes v により定義します（v \in \sl）．さらに，\rho_m \colon U (\sl) \to \End (V_m) は代数準同型なので，代数準同型 \rho_m \otimes \rho_m \colon U (\sl)^{\otimes 2} \to \End (V_m^{\otimes 2}) があります．（正確には \End (V_m)^{\otimes 2} ですが，V_m が有限次元なので気にしなくてもよいです．）ただし，ベクトル空間 V に対して V^{\otimes 2} := V \otimes V と書いています．これらの合成 (\rho_m \otimes \rho_m) \circ \Delta \colon U (\sl) \to \End (V_m^{\otimes 2}) は代数準同型なので，これにより V_m^{\otimes 2} が U (\sl) 加群となります．
物理的にも数学的にもテンソル積表現（上の (V_m^{\otimes 2}, (\rho_m \otimes \rho_m) \circ \Delta) 等）は重要ですが，その定義には \Delta という代数準同型がポイントでした．圏論的に見ると \Delta は代数上の積の双対概念であり，余積（comultiplication）と呼ばれます．
一般に，ベクトル空間 V, W に対して，そのフリップ（flip）\tau \colon V \otimes W \to W \otimes V が \tau (x \otimes y) := y \otimes x によって定義されます．これを用いると，上の \Delta は \Delta = \tau \circ \Delta を満たすことが分かります．これは積の可換律の双対概念であり，余可換律（cocommutativity）です．
さて，U (\sl) の定義を少しいじって \Delta が非余可換となるようにしてみましょう．非常に天下り的ですが（物理的な由来があると思いますが知りません），U (\sl) の量子化 U_q (\sl) を次のように定義します：
q \in k \setminus \{ 0 \} を一つ固定し，4つの元 \widetilde{E}, \widetilde{F}, \widetilde{K}, \widetilde{K^{-1}} から生成されるテンソル代数を T とおく．T を関係式 \begin{align*} \widetilde{K} \widetilde{K^{-1}} &= \widetilde{K^{-1}} \widetilde{K} = 1, \\ \widetilde{K} \widetilde{E} \widetilde{K^{-1}} &= q^2 \widetilde{E}, \\ \widetilde{K} \widetilde{F} \widetilde{K^{-1}} &= q^{-2} \widetilde{F}, \\ \brk{\widetilde{E}, \widetilde{F}} &= \frac{\widetilde{K} - \widetilde{K^{-1}}}{q - q^{-1}} \end{align*} で割った商代数を U_q (\sl) と書き，\widetilde{E}, \widetilde{F}, \widetilde{K}, \widetilde{K^{-1}} に対応する元をそれぞれ E, F, K, K^{-1} と表す．U_q (\sl) は量子群（quantum groups）と呼ばれるものの1つである．
このとき \Delta \colon U_q (\sl) \to U_q (\sl)^{\otimes 2} は \begin{align*} \Delta (E) &= E \otimes K + 1 \otimes E, \\ \Delta (F) &= F \otimes 1 + K^{-1} \otimes F, \\ \Delta (K^{\pm 1}) &= K^{\pm 1} \otimes K^{\pm 1} \end{align*} と変更されます．これはもちろん \Delta = \tau \circ \Delta を満たさないので，U_q (\sl) は非余可換であることが分かります．
以下では q は 1 の冪根でない，すなわち任意の p \in \mathbb{Z}_{\ge 1} に対して q^p \neq 1 であるとします．1 の冪根である場合は少し厄介です．詳しくは Kassel を読んでください．
\sl の表現 (V_m, \rho_m) に対応する U_q (\sl) の表現を考えます．（U_q (\sl) は代数なので，代数としての表現です．）そのためには，多項式環 k [x, y] も量子化する必要があります．
今まで x と y は可換でしたが，代わりに x y = q y x を満たすとします．正確に言えば，
2つの元 \widetilde{x}, \widetilde{y} から生成されるテンソル代数 T を関係式 \widetilde{x} \widetilde{y} = q \widetilde{y} \widetilde{x} で割った商代数を k_q [x, y] と書く．\widetilde{x}, \widetilde{y} に対応する元をそれぞれ x, y と表す．
k_q [x, y] のうち，m 次斉次多項式と 0 からなる集合を k_q [x, y]_m と書く．
k [x, y] の場合と同じく，\{ x^i y^{m - i} \mid 0 \le i \le m \} が k_q [x, y]_m の基底であり，ベクトル空間として k_q [x, y] = \bigoplus_{m = 0}^\infty k_q [x, y]_m となります．
さて，U_q (\sl) の表現 (V_m := k_q [x, y]_m, \rho_m) を構成しましょう．U_q (\sl) の V_m への作用を，P (x, y) \in V_m に対して \begin{align*} (E P) (x, y) &= x \frac{P (x, q y) - P (x, q^{-1} y)}{q - q^{-1}} \cdot \frac{1}{y}, \\ (F P) (x, y) &= \frac{1}{x} \cdot \frac{P (q x, y) - P (q^{-1} x, y)}{q - q^{-1}} y, \\ (K^{\pm 1} P) (x, y) &= P (q^{\pm 1} x, q^{\mp 1} y) \end{align*} で定めます．これらが U_q (\sl) 加群になることは，やや面倒な計算ですが，素直に確かめられます．形式的に q \to 1 という極限を考えてみると，E と F の作用がおおよそ微分作用素になるので，これが古典論（U (\sl) 加群）の類似であると言えます．
さらに，代数群 SL_2 := SL (2, k) の量子化も考えることができます．ただし SL_2 を直接量子化するのではなく，SL_2 の k [x, y] への作用を通じて量子化します．詳細は式が長くなるので割愛しますが，これにより k [x, y]_m は SL_2 余加群の構造を持ち，それは実は \sl 加群の構造と双対であると言われます．一方その量子化 SL_{q, 2} := SL_q (2, k) を考えると，k_q [x, y]_m は SL_{q, 2} 余加群となり，それは U_q (\sl) 加群の構造と双対です．
量子群はその基本だけでも，ここに書ききれないほど多くのおもしろい内容が詰まっています．ぜひその魅力を感じてください！
明日は h6akh さんの sine-square deformation についてです．
長い文章でしたがありがとうございました．