\[ \renewcommand\le\leqslant \renewcommand\ge\geqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \DeclareMathOperator\tr{tr} \]
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のいずれかまでお願いします．
\[ \newcommand\sl{\frk{sl}_2} \]
これは，数理物理 Advent Calendar 2018 の21日目の記事です． 昨日は hattan0523 さんのAuter-Townes 効果についてでした．
\(k\) を（標数 \(0\) の）体とします．物理学では，基本的に \(k = \mathbb{R}\) か \(k = \mathbb{C}\) の場合のみを考えればよいでしょう． \(k\) 上のLie 代数（Lie algebra）とは，\(k\) 上のベクトル空間 \(\frk g\) であって，交代的な双線型写像 \(\brk{\cdot, \cdot} \colon \frk g \times \frk g \to \frk g\) （線型写像 \(\brk{\cdot, \cdot} \colon \frk g \wedge \frk g \to \frk g\) と言ってもよい）が存在し，Jacobi恒等式 \[ \brk{x, \brk{y, z}} + \brk{y, \brk{z, x}} + \brk{z, \brk{x, y}} = 0 \] が任意の \(x, y, z \in \frk g\) に対して成り立つものをいいます．
Lie 代数 \(\frk g\) の部分 Lie 代数（Lie subalgebras）とは，\(\frk g\) の部分空間 \(\frk h \subset \frk g\) であって，任意の \(x, y \in \frk h\) に対して \(\brk{x, y} \in \frk h\) となることをいいます．
Lie 代数 \(\frk g\) のイデアル（ideal）とは，\(\frk g\) の部分空間 \(\frk h \subset \frk g\) であって，任意の \(x \in \frk h\) と \(y \in \frk g\) に対して \(\brk{x, y} \in \frk h\) となることをいいます．容易に分かるように，Lie 代数のイデアルは部分 Lie 代数になります．
Lie 代数間の写像 \(\varphi \colon \frk g \to \frk h\) が Lie 代数準同型（Lie algebra homomorphism）であるとは，線型写像であって，任意の \(x, y \in \frk g\) に対して， \[ \varphi (\brk{x, y}) = \brk{\varphi (x), \varphi (y)} \] となることをいいます．Lie 代数準同型の核はイデアルであり，像は部分 Lie 代数です．
最も身近な Lie 代数の例は \(\frk{gl} (n, k)\) でしょう．これは，ベクトル空間としては \(k\) 上の \(n\) 次行列全体 \(M (n, k)\) であり，その上のブラケットを \(x, y \in M (n, k)\) に対して \[ \brk{x, y} := x y - y x \] と定めたものです．左辺は行列の積および差です．これが実際に \(k\) 上の Lie 代数となることは，簡単な計算によって確かめられます．
\(\frk{gl} (n, k)\) のイデアル \(\frk{sl} (n, k) := \{ x \in \frk{gl} (n, k) \mid \tr x = 0 \}\) も重要です．
同様に，\(k\) 上ベクトル空間 \(V\) の自己準同型全体 \(\End (V)\) に \[ \brk{f, g} := f \circ g - g \circ f \quad (f, g \in \End (V)) \] として Lie 代数の構造を入れたものを \(\frk{gl} (V)\) と書きます．
\(k\) 上 Lie 代数 \(\frk g\) の表現（representations）とは，\(k\) 上ベクトル空間 \(V\) と Lie 代数準同型 \(\rho \colon \frk g \to \frk{gl} (V)\) のペアのことをいう．誤解の恐れがない場合，\(V\) や \(\rho\) のことを表現と呼ぶこともある．\(V\) を\(\frk g\) 加群（\(\frk g\)-module）ともいう．
表現には色々な側面がありますが，そのうちの一つは「Lie 代数という抽象的な概念を，\(\frk{gl} (V)\) という具体的で扱いやすいものを通じて調べる」ことです．
Lie 代数の表現についての詳細は Humphreys を読んでもらうこととして，具体的に \(\sl := \frk{sl} (2, k)\) の表現を考えます．
\(\sl\) の基底として \[ \begin{align*} e &:= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ f &:= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ h &:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*} \] を取ります．
\(k [x, y]\) を \(k\) 上の（可換な）2変数多項式環とし，\(k [x, y]_m \subset k [x, y]\) を \(m\) 次斉次多項式と \(0\) からなる集合とすれば，\(k [x, y]_m\) は \(m + 1\) 次元ベクトル空間であり，ベクトル空間として \[ k [x, y] = \bigoplus_{m = 0}^\infty k [x, y]_m \] となっていることが分かります．
今，\(\frk{sl} (2, k)\) を \(k [x, y]\) 上の微分作用素として次のように作用させます：\(P (x, y) \in k [x, y]\) に対して \[ \begin{align*} (e P) (x, y) &:= x \frac{\partial P}{\partial y} (x, y), \\ (f P) (x, y) &:= y \frac{\partial P}{\partial x} (x, y), \\ (h P) (x, y) &:= x \frac{\partial P}{\partial x} (x, y) - y \frac{\partial P}{\partial y} (x, y). \end{align*} \]
これが実際に \(\sl\) の表現となることは簡単な計算により分かります．また，\(k [x, y]_m\) は \(\sl\) の作用で不変です．すなわち，\(\sl \cdot k [x, y]_m \subset k [x, y]_m\) となります．
この表現を \((V_m := k [x, y]_m, \rho_m)\) と書くことにします．\(V_m\) の基底 \(\{ x^i y^{m - i} \mid 0 \le i \le m \}\) について \(\rho (e), \rho (f), \rho (h)\) をそれぞれ行列表示すれば，とても簡単な行列になっていることが簡単に分かります．
さて，この表現を用いて \(V_m \otimes V_m\) を \(\sl\) の表現を作りましょう．（量子力学的にも重要です．）そのために \(\sl\) の普遍包絡環が必要です．
3つのベクトル \(\widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h}\) から作られるテンソル代数 \(T = T \{ \widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h} \}\) を考える．\(\sl\) の関係式に対応する部分集合 \[ \{ \brk{\widetilde{e}, \widetilde{f}} - \widetilde{h}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{e}} - 2 \widetilde{e}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{f}} - 2 \widetilde{f} \} \] から生成される \(T\) の（代数としての）イデアルを \(I \subset T\) とおく： \[ I := ( \brk{\widetilde{e}, \widetilde{f}} - \widetilde{h}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{e}} - 2 \widetilde{e}, \brk{\widetilde{h}, \widetilde{f}} - 2 \widetilde{f} ) \] このとき，商代数 \(U (\sl) := T / I\) を \(\sl\) の普遍包絡環（universal enveloping algebra）という．\(\widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h} \in T\) に対応する \(U (\sl)\) の元を単にそれぞれ \(e, f, h\) と書く．
\(k\) 上代数 \(A\) の表現（representations）とは，\(k\) 上ベクトル空間 \(V\) と代数準同型 \(\rho \colon A \to \End (V)\) のペアのことをいう．その他の言葉も Lie 代数の場合と同様に定義される．
\(\sl\) の表現から自然に \(U (\sl)\) の表現を作ることができます．すなわち，\(v = v_1 \otimes \dotsc \otimes v_n \in U (\sl)\) （\(v_i \in \sl\)）と \(P(x, y) \in V_m\) に対して \[ (v P) (x, y) := ( v_1 ( \dotsb (v_n P) \dotsb ) ) (x, y) \] と帰納的に定まります．この表現を \(\sl\) の場合と同じ記号で \((V_m, \rho_m)\) とします．
\(V_m \otimes V_m\) を \(U (\sl)\) の表現と考える前に，代数準同型 \(\Delta \colon U (\sl) \to U (\sl) \otimes U (\sl)\) を \(\Delta (v) := v \otimes 1 + 1 \otimes v\) により定義します（\(v \in \sl\)）．さらに，\(\rho_m \colon U (\sl) \to \End (V_m)\) は代数準同型なので，代数準同型 \[ \rho_m \otimes \rho_m \colon U (\sl)^{\otimes 2} \to \End (V_m^{\otimes 2}) \] があります．（正確には \(\End (V_m)^{\otimes 2}\) ですが，\(V_m\) が有限次元なので気にしなくてもよいです．）ただし，ベクトル空間 \(V\) に対して \(V^{\otimes 2} := V \otimes V\) と書いています．これらの合成 \[ (\rho_m \otimes \rho_m) \circ \Delta \colon U (\sl) \to \End (V_m^{\otimes 2}) \] は代数準同型なので，これにより \(V_m^{\otimes 2}\) が \(U (\sl)\) 加群となります．
物理的にも数学的にもテンソル積表現（上の \((V_m^{\otimes 2}, (\rho_m \otimes \rho_m) \circ \Delta)\) 等）は重要ですが，その定義には \(\Delta\) という代数準同型がポイントでした．圏論的に見ると \(\Delta\) は代数上の積の双対概念であり，余積（comultiplication）と呼ばれます．
一般に，ベクトル空間 \(V, W\) に対して，そのフリップ（flip）\(\tau \colon V \otimes W \to W \otimes V\) が \(\tau (x \otimes y) := y \otimes x\) によって定義されます．これを用いると，上の \(\Delta\) は \[ \Delta = \tau \circ \Delta \] を満たすことが分かります．これは積の可換律の双対概念であり，余可換律（cocommutativity）です．
さて，\(U (\sl)\) の定義を少しいじって \(\Delta\) が非余可換となるようにしてみましょう．非常に天下り的ですが（物理的な由来があると思いますが知りません），\(U (\sl)\) の量子化 \(U_q (\sl)\) を次のように定義します：
\(q \in k \setminus \{ 0 \}\) を一つ固定し，4つの元 \(\widetilde{E}, \widetilde{F}, \widetilde{K}, \widetilde{K^{-1}}\) から生成されるテンソル代数を \(T\) とおく．\(T\) を関係式 \[ \begin{align*} \widetilde{K} \widetilde{K^{-1}} &= \widetilde{K^{-1}} \widetilde{K} = 1, \\ \widetilde{K} \widetilde{E} \widetilde{K^{-1}} &= q^2 \widetilde{E}, \\ \widetilde{K} \widetilde{F} \widetilde{K^{-1}} &= q^{-2} \widetilde{F}, \\ \brk{\widetilde{E}, \widetilde{F}} &= \frac{\widetilde{K} - \widetilde{K^{-1}}}{q - q^{-1}} \end{align*} \] で割った商代数を \(U_q (\sl)\) と書き，\(\widetilde{E}, \widetilde{F}, \widetilde{K}, \widetilde{K^{-1}}\) に対応する元をそれぞれ \(E, F, K, K^{-1}\) と表す．\(U_q (\sl)\) は量子群（quantum groups）と呼ばれるものの1つである．
このとき \(\Delta \colon U_q (\sl) \to U_q (\sl)^{\otimes 2}\) は \[ \begin{align*} \Delta (E) &= E \otimes K + 1 \otimes E, \\ \Delta (F) &= F \otimes 1 + K^{-1} \otimes F, \\ \Delta (K^{\pm 1}) &= K^{\pm 1} \otimes K^{\pm 1} \end{align*} \] と変更されます．これはもちろん \(\Delta = \tau \circ \Delta\) を満たさないので，\(U_q (\sl)\) は非余可換であることが分かります．
以下では \(q\) は \(1\) の冪根でない，すなわち任意の \(p \in \mathbb{Z}_{\ge 1}\) に対して \(q^p \neq 1\) であるとします．\(1\) の冪根である場合は少し厄介です．詳しくは Kassel を読んでください．
\(\sl\) の表現 \((V_m, \rho_m)\) に対応する \(U_q (\sl)\) の表現を考えます．（\(U_q (\sl)\) は代数なので，代数としての表現です．）そのためには，多項式環 \(k [x, y]\) も量子化する必要があります．
今まで \(x\) と \(y\) は可換でしたが，代わりに \(x y = q y x\) を満たすとします．正確に言えば，
2つの元 \(\widetilde{x}, \widetilde{y}\) から生成されるテンソル代数 \(T\) を関係式 \[ \widetilde{x} \widetilde{y} = q \widetilde{y} \widetilde{x} \] で割った商代数を \(k_q [x, y]\) と書く．\(\widetilde{x}, \widetilde{y}\) に対応する元をそれぞれ \(x, y\) と表す．
\(k_q [x, y]\) のうち，\(m\) 次斉次多項式と \(0\) からなる集合を \(k_q [x, y]_m\) と書く．
\(k [x, y]\) の場合と同じく，\(\{ x^i y^{m - i} \mid 0 \le i \le m \}\) が \(k_q [x, y]_m\) の基底であり，ベクトル空間として \[ k_q [x, y] = \bigoplus_{m = 0}^\infty k_q [x, y]_m \] となります．
さて，\(U_q (\sl)\) の表現 \((V_m := k_q [x, y]_m, \rho_m)\) を構成しましょう．\(U_q (\sl)\) の \(V_m\) への作用を，\(P (x, y) \in V_m\) に対して \[ \begin{align*} (E P) (x, y) &= x \frac{P (x, q y) - P (x, q^{-1} y)}{q - q^{-1}} \cdot \frac{1}{y}, \\ (F P) (x, y) &= \frac{1}{x} \cdot \frac{P (q x, y) - P (q^{-1} x, y)}{q - q^{-1}} y, \\ (K^{\pm 1} P) (x, y) &= P (q^{\pm 1} x, q^{\mp 1} y) \end{align*} \] で定めます．これらが \(U_q (\sl)\) 加群になることは，やや面倒な計算ですが，素直に確かめられます．形式的に \(q \to 1\) という極限を考えてみると，\(E\) と \(F\) の作用がおおよそ微分作用素になるので，これが古典論（\(U (\sl)\) 加群）の類似であると言えます．
さらに，代数群 \(SL_2 := SL (2, k)\) の量子化も考えることができます．ただし \(SL_2\) を直接量子化するのではなく，\(SL_2\) の \(k [x, y]\) への作用を通じて量子化します．詳細は式が長くなるので割愛しますが，これにより \(k [x, y]_m\) は \(SL_2\) 余加群の構造を持ち，それは実は \(\sl\) 加群の構造と双対であると言われます．一方その量子化 \(SL_{q, 2} := SL_q (2, k)\) を考えると，\(k_q [x, y]_m\) は \(SL_{q, 2}\) 余加群となり，それは \(U_q (\sl)\) 加群の構造と双対です．
量子群はその基本だけでも，ここに書ききれないほど多くのおもしろい内容が詰まっています．ぜひその魅力を感じてください！
明日は h6akh さんの sine-square deformation についてです．
長い文章でしたがありがとうございました．