\[ \renewcommand\le\leqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \]
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集合 \(G\) が群（group）であるとは，\(G\) 上に積（multiplication）と呼ばれる結合的な二項演算があり，単位元（identity element）が存在し，各 \(g \in G\) に対してその逆元（inverse）が定まっていることをいう．
群 \(G\) が積について可環なとき，すなわち任意の \(g, h \in G\) に対して \(g h = h g\) なるとき，\(G\) を可換群（commutative group），あるいはAbel 群（Abelian group）という．
容易に分かるように，群における単位元と逆元は一意です．そこで，特に断らない限りは，単位元を常に \(1 \in G\) と表すことにします．\(g \in G\) の逆元は \(g^{-1} \in G\) と表します． 単位元の存在から，特に \(G \neq \emptyset\) も言えます．
群 \(G\) の部分集合 \(H \subset G\) が \(G\) の部分群（subgroup）であるとは，\(H\) が \(G\) と同じ演算に関して群となること，すなわち任意の \(g, h \in H\) に対して \[ g h, \ g^{-1} \in H \] となることをいう．このとき，\(H \le G\) と書く．
\(G\) の部分群 \(H\) が正規（normal）であるとは，\(H\) が \(G\) の共役で不変であること，すなわち任意の \(g \in G\) と \(h \in H\) に対して \[ g h g^{-1} \in H \] となることをいう．このとき，\(H \vartriangleleft G\) と書く．
\(G\) が可換群ならば，\(G\) のすべての部分群は正規です．非可換群においては，部分群が正規であるとは限りません．
群の間の写像 \(\varphi \colon G \to H\) が群準同型（group homomorphism）であるとは，\(\varphi\) が \(G\) の群構造を保存すること，すなわち
となることをいう．
群準同型 \(\varphi \colon G \to H\) が群同型（group isomorphism）であるとは，群準同型 \(\psi \colon H \to G\) が存在して， \[ \psi \circ \varphi = \id_G, \quad \varphi \circ \psi = \id_H \] となることをいう．群同型 \(G \to H\) が存在するとき（従って群同型 \(H \to G\) も存在するとき），\(G\) と \(H\) は互いに群同型（group-isomorphic）であるといい，\(G \cong H\) と書く．
群準同型，群同型（group isomorphism, group-isomorphic）を単に準同型（homomorphism），同型（isomorphism, isomorphic）とも言います．
群 \(G\) とその正規部分群 \(H \vartriangleleft G\) があるとき，\(G\) 上の同値関係 \[ g \sim h \adef g^{-1} h \in H \] で割った商集合 \(G /\! \sim\) は自然に群となり， \[ G /\! \sim {}= \{ g H \mid g \in G \}, \quad g H := \{ g h \mid h \in H \} \] という形をしている．この \(G /\! \sim\) を \(G / H := G /\! \sim\) と書き，\(G\) の \(H\) による剰余群（residue group）という．
このとき，写像 \(\pi \colon G \to G / H, \ g \mapsto g H,\) は全射群準同型となる．この \(\pi\) を標準的な全射（canonical surjection）といい，\(\pi \colon G \surj G / H\) と書く．
「標準的」は，「自然な（natural）」とも言われます．つまり，「\(G\) から \(G / H\) への写像（群準同型）を作ろうと思ったときに，最も自然に考えられるもの」というキモチです．これは，後で見る圏論的な考えにも関係してきます．
群準同型 \(\varphi \colon G \to H\) に対して，\(G\) の部分集合 \[ \Ker (\varphi) := \{ g \in G \mid \varphi (g) = 1 \} = \varphi^{-1} (1) \] を \(\varphi\) の核（kernel）といい，\(H\) の部分集合 \[ \Im (\varphi) := \{ \varphi (g) \mid g \in G \} = \varphi (G) \] を \(\varphi\) の像（image）という．
\(\varphi \colon G \to H\) を群準同型とする．このとき， \[ \Ker (\varphi) \vartriangleleft G, \quad \Im (\varphi) \le H. \]
群準同型 \(\varphi \colon G \to H\) を考える．上の命題より，\(\Ker (\varphi)\) は \(G\) の正規部分群だから，その剰余群 \(G / \Ker (\varphi)\) を構成することができる．このとき， \[ G / \Ker (\varphi) \cong \Im (\varphi). \]
この定理を準同型定理（isomorphism theorem）と言います．（正確には第一準同型定理ですが．）
ここで考えるのは，群が一つ，または複数与えられたときに，新たな群を構成することです．
まず，群 \(G, H\) があるとき，その直積集合 \(G \times H\) が作れます．\(G \times H\) 上には，次のような群構造を入れるのが自然でしょう： \[ (g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) := (g_1 g_2, h_1 h_2) \quad (g_1, g_2 \in G, \ h_1, h_2 \in H). \]
このとき，単位元は \((1, 1) \in G \times H\)，\((g, h) \in G \times H\) の逆元は \((g^{-1}, h^{-1}) \in G \times H\) です．
上のように構成された群 \(G \times H\) を，\(G\) と \(H\) の直積群（direct product group）と呼ぶ．
以下のように定まる写像
は全射群準同型である．これらを標準的な射影（canonical projections）といい，\(\pi_1 \colon G \times H \surj G\) や \(\pi_2 \colon G \times H \surj H\) と書く．
\(G\) は \(G \times H\) の正規部分群 \(G' := \{ (g, 1) \in G \times H \mid g \in G \}\) と群同型になります．そこで，\(G\) と \(G'\) を同一視してみます．\(H\) も同様に，\(H' := \{ (1, h) \in G \times H \mid h \in H \}\) と同一視します．すると，標準的な射影 \(\pi_1 \colon G \times H \surj G'\) は，標準的な全射 \(\pi \colon G \times H \surj (G \times H) / H'\) に他ならないことが分かります．
\(G\) を群とし，\(S \subset G\) をその（空でも構わない）部分集合とする．このとき，\(S\) を含むような \(G\) の最小の部分群 \(\gen{S}_G \le G\) が存在する．すなわち，\(G\) の部分群 \(\gen{S}_G\) であって，\(S \subset \gen{S}_G\) かつ，\(S \subset H \le G\) なる任意の部分群 \(H\) に対して \(\gen{S}_G \subset H\) となるようなものが存在する．
\[ \mathcal{S} := \{ H \le G \mid S \subset H \} \] とおいて，\(\mathcal{S}\) に Zorn の補題を適用すれば，極小元 \(H \in \mathcal{S}\) が存在することが分かる．これが最小元であることを示すために，\(H' \in \mathcal{S}\) を任意に取る．もし \(H \not\subset H'\) であれば，\(H \cap H' \subsetneq H\) である．一方，\(H, H' \in \mathcal{S}\) より，\(H \cap H' \in \mathcal{S}\) である（実際，\(H\) と \(H'\) はともに部分群であるから \(H \cap H' \le G\)．また，\(S \subset H, H'\) より，\(S \subset H \cap H'\)．よって \(H \cap H' \in \mathcal{S}\)．）が，これは \(H\) の極小性に矛盾．よって \(H \subset H'\) であるから，\(H\) は \(\mathcal{S}\) の最小元であることが言えた．
上の補題によって存在が保証された部分群 \(\gen{S}_G\) を\(S\) によって生成された部分群（subgroup generated by \(S\)）という．
\(S = \emptyset\) のときは，\(\gen{S}_G = \{ 1 \}\) です．そうでないときは， \[ \gen{S}_G = \{ s_1 s_2 \dotsm s_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ s_i \in S \ \text{or} \ s_i^{-1} \in S \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \} \] という形をしています．
次に，自由群と群の直和について見てみましょう．
集合 \(S\) に対して，\(S\) 上の語（words）全体からなる集合 \[ \gen{S} = \{ s_1 s_2 \dotsm s_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ s_i \in S \ \text{or} \ s_i^{-1} \in S \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \} \] を \(S\) によって生成された自由群（free group generated by \(S\)），あるいは \(S\) を基底とする自由群（free group with basis \(S\)）という．
群 \(G\) と \(H\) の直和（direct sum）とは， \[ G \oplus H := \{ x_1 x_2 \dotsm x_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ x_i \in G \ \text{or} \ x_i \in H \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \} \] という群のことである．
以下のように定まる写像
は単射群準同型である．これらを標準的な入射（canonical injections）といい，\(\iota_1 \colon G \incl G \oplus H\) や \(\iota_2 \colon H \incl G \oplus H\) と書く．
最後に，交換子群と可換化について復習します．
群 \(G\) の元 \(g, h \in G\) に対して \[ [g, h] := g h g^{-1} h^{-1} \] とおき，\(g\) と \(h\) の交換子（commutator）という．
\(G\) の空でない部分集合 \(S, T \subset G\) に対して \[ [S, T] := \gen{\{ [s, t] \mid s \in S, t \in T \}}_G \] とおくと，特に \([G, G]\) は \(G\) の正規部分群となる．この \([G, G] \vartriangleleft G\) を \(G\) の交換子群（commutator group）といい，その剰余群 \(\Ab G := G / [G, G]\) を \(G\) のAbel 化（Abelianization）という．
その名前から想像できるように，\(\Ab G\) は可換群になります．さらに，\(G\) が可換群のときは \([G, G] = \{ 1 \}\) なので，\(G \cong \Ab G\) となります．大雑把に言えば，\([G, G]\) は \(G\) の「非可換度合」を測ったもので，\(G / [G, G]\) はその「非可換な部分」をすべて潰したもの，というイメージです．
以上で群論からの準備は終わりです．いよいよ圏論を考えていきましょう．