群論 –Naughie's Advent Calendar

集合 $G$ が群（group）であるとは， $G$ 上に積（multiplication）と呼ばれる結合的な二項演算があり，単位元（identity element）が存在し，各 $g \in G$ に対してその逆元（inverse）が定まっていることをいう．

群 $G$ が積について可環なとき，すなわち任意の $g, h \in G$ に対して $g h = h g$ なるとき， $G$ を可換群（commutative group），あるいはAbel 群（Abelian group）という．

容易に分かるように，群における単位元と逆元は一意です．そこで，特に断らない限りは，単位元を常に

1 \in G

と表すことにします．

g \in G

の逆元は

g^{- 1} \in G

と表します．単位元の存在から，特に

G \neq \emptyset

も言えます．

群 $G$ の部分集合 $H \subset G$ が $G$ の部分群（subgroup）であるとは， $H$ が $G$ と同じ演算に関して群となること，すなわち任意の $g, h \in H$ に対して $g h, g^{- 1} \in H$ となることをいう．このとき， $H ⩽ G$ と書く．

$G$ の部分群 $H$ が正規（normal）であるとは， $H$ が $G$ の共役で不変であること，すなわち任意の $g \in G$ と $h \in H$ に対して $g h g^{- 1} \in H$ となることをいう．このとき， $H ⊲ G$ と書く．

G

が可換群ならば，

G

のすべての部分群は正規です．非可換群においては，部分群が正規であるとは限りません．

群の間の写像 $φ : G \to H$ が群準同型（group homomorphism）であるとは， $φ$ が $G$ の群構造を保存すること，すなわち

$φ (1) = 1$ ；
任意の $g, h \in G$ に対して $φ (g h) = φ (g) φ (h)$ ；
任意の $g \in G$ に対して $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$

となることをいう．

群準同型 $φ : G \to H$ が群同型（group isomorphism）であるとは，群準同型 $ψ : H \to G$ が存在して， $ψ \circ φ = {i d}_{G}, φ \circ ψ = {i d}_{H}$ となることをいう．群同型 $G \to H$ が存在するとき（従って群同型 $H \to G$ も存在するとき）， $G$ と $H$ は互いに群同型（group-isomorphic）であるといい， $G ≅ H$ と書く．

群準同型，群同型（group isomorphism, group-isomorphic）を単に準同型（homomorphism），同型（isomorphism, isomorphic）とも言います．

群 $G$ とその正規部分群 $H ⊲ G$ があるとき， $G$ 上の同値関係 $g \sim h \overset{d e f}{⟺} g^{- 1} h \in H$ で割った商集合 $G / \sim$ は自然に群となり， $G / \sim = {g H ∣ g \in G}, g H := {g h ∣ h \in H}$ という形をしている．この $G / \sim$ を $G / H := G / \sim$ と書き， $G$ の $H$ による剰余群（residue group）という．

このとき，写像 $π : G \to G / H, g \mapsto g H,$ は全射群準同型となる．この $π$ を標準的な全射（canonical surjection）といい， $π : G ↠ G / H$ と書く．

「標準的」は，「自然な（natural）」とも言われます．つまり，「

G

から

G / H

への写像（群準同型）を作ろうと思ったときに，最も自然に考えられるもの」というキモチです．これは，後で見る圏論的な考えにも関係してきます．

準同型定理 Isomorphism theorem

群準同型 $φ : G \to H$ に対して， $G$ の部分集合 $Ker (φ) := {g \in G ∣ φ (g) = 1} = φ^{- 1} (1)$ を $φ$ の核（kernel）といい， $H$ の部分集合 $Im (φ) := {φ (g) ∣ g \in G} = φ (G)$ を $φ$ の像（image）という．

$φ : G \to H$ を群準同型とする．このとき， $Ker (φ) ⊲ G, Im (φ) ⩽ H .$

群準同型 $φ : G \to H$ を考える．上の命題より， $Ker (φ)$ は $G$ の正規部分群だから，その剰余群 $G / Ker (φ)$ を構成することができる．このとき， $G / Ker (φ) ≅ Im (φ) .$

この定理を準同型定理（isomorphism theorem）と言います．（正確には第一準同型定理ですが．）

群の構成 Construction of groups

ここで考えるのは，群が一つ，または複数与えられたときに，新たな群を構成することです．

まず，群

G, H

があるとき，その直積集合

G \times H

が作れます．

G \times H

上には，次のような群構造を入れるのが自然でしょう：

(g_{1}, h_{1}) \cdot (g_{2}, h_{2}) := (g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2}) (g_{1}, g_{2} \in G, h_{1}, h_{2} \in H) .

このとき，単位元は

(1, 1) \in G \times H

，

(g, h) \in G \times H

の逆元は

(g^{- 1}, h^{- 1}) \in G \times H

です．

上のように構成された群 $G \times H$ を， $G$ と $H$ の直積群（direct product group）と呼ぶ．

以下のように定まる写像

$π_{1} : G \times H \to G, (g, h) \mapsto g$ ；
$π_{2} : G \times H \to H, (g, h) \mapsto h$

は全射群準同型である．これらを標準的な射影（canonical projections）といい， $π_{1} : G \times H ↠ G$ や $π_{2} : G \times H ↠ H$ と書く．

G

は

G \times H

の正規部分群

G^{'} := {(g, 1) \in G \times H ∣ g \in G}

と群同型になります．そこで，

G

と

G^{'}

を同一視してみます．

H

も同様に，

H^{'} := {(1, h) \in G \times H ∣ h \in H}

と同一視します．すると，標準的な射影

π_{1} : G \times H ↠ G^{'}

は，標準的な全射

π : G \times H ↠ (G \times H) / H^{'}

に他ならないことが分かります．

$G$ を群とし， $S \subset G$ をその（空でも構わない）部分集合とする．このとき， $S$ を含むような $G$ の最小の部分群 $⟨ S ⟩_{G} ⩽ G$ が存在する．すなわち， $G$ の部分群 $⟨ S ⟩_{G}$ であって， $S \subset ⟨ S ⟩_{G}$ かつ， $S \subset H ⩽ G$ なる任意の部分群 $H$ に対して $⟨ S ⟩_{G} \subset H$ となるようなものが存在する．

$S := {H ⩽ G ∣ S \subset H}$ とおいて， $S$ に Zorn の補題を適用すれば，極小元 $H \in S$ が存在することが分かる．これが最小元であることを示すために， $H^{'} \in S$ を任意に取る．もし $H ⊄ H^{'}$ であれば， $H \cap H^{'} ⊊ H$ である．一方， $H, H^{'} \in S$ より， $H \cap H^{'} \in S$ である（実際， $H$ と $H^{'}$ はともに部分群であるから $H \cap H^{'} ⩽ G$ ．また， $S \subset H, H^{'}$ より， $S \subset H \cap H^{'}$ ．よって $H \cap H^{'} \in S$ ．）が，これは $H$ の極小性に矛盾．よって $H \subset H^{'}$ であるから， $H$ は $S$ の最小元であることが言えた．

上の補題によって存在が保証された部分群 $⟨ S ⟩_{G}$ を $S$ によって生成された部分群（subgroup generated by $S$ ）という．

S = \emptyset

のときは，

⟨ S ⟩_{G} = {1}

です．そうでないときは，

⟨ S ⟩_{G} = {s_{1} s_{2} \dots s_{n} ∣ n \in Z_{> 0}, s_{i} \in S or s_{i}^{- 1} \in S (1 ⩽ i ⩽ n)} \cup {1}

という形をしています．

集合 $S$ に対して， $S$ 上の語（words）全体からなる集合 $⟨ S ⟩ = {s_{1} s_{2} \dots s_{n} ∣ n \in Z_{> 0}, s_{i} \in S or s_{i}^{- 1} \in S (1 ⩽ i ⩽ n)} \cup {1}$ を $S$ によって生成された自由群（free group generated by $S$ ），あるいは $S$ を基底とする自由群（free group with basis $S$ ）という．

群 $G$ と $H$ の直和（direct sum）とは， $G \oplus H := {x_{1} x_{2} \dots x_{n} ∣ n \in Z_{> 0}, x_{i} \in G or x_{i} \in H (1 ⩽ i ⩽ n)} \cup {1}$ という群のことである．

以下のように定まる写像

$ι_{1} : G \to G \oplus H, g \mapsto g$ ；
$ι_{2} : H \to G \oplus H, h \mapsto h$

は単射群準同型である．これらを標準的な入射（canonical injections）といい， $ι_{1} : G ↪ G \oplus H$ や $ι_{2} : H ↪ G \oplus H$ と書く．

群 $G$ の元 $g, h \in G$ に対して $[g, h] := g h g^{- 1} h^{- 1}$ とおき， $g$ と $h$ の交換子（commutator）という．

$G$ の空でない部分集合 $S, T \subset G$ に対して $[S, T] := ⟨ {[s, t] ∣ s \in S, t \in T} ⟩_{G}$ とおくと，特に $[G, G]$ は $G$ の正規部分群となる．この $[G, G] ⊲ G$ を $G$ の交換子群（commutator group）といい，その剰余群 $Ab G := G / [G, G]$ を $G$ のAbel 化（Abelianization）という．

その名前から想像できるように，

Ab G

は可換群になります．さらに，

G

が可換群のときは

[G, G] = {1}

なので，

G ≅ Ab G

となります．大雑把に言えば，

[G, G]

は

G

の「非可換度合」を測ったもので，

G / [G, G]

はその「非可換な部分」をすべて潰したもの，というイメージです．

以上で群論からの準備は終わりです．いよいよ圏論を考えていきましょう．

目次 Table of Contents

群論 Group theory

基本的な概念 Basic definitions

準同型定理 Isomorphism theorem

群の構成 Construction of groups