群論 –Naughie's Advent Calendar

$\renewcommand\le\leqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End}$

目次 Table of Contents

群論 Group theory

基本的な概念 Basic definitions

集合 $G$ が群（group）であるとは， $G$ 上に積（multiplication）と呼ばれる結合的な二項演算があり，単位元（identity element）が存在し，各 $g \in G$ に対してその逆元（inverse）が定まっていることをいう．

群 $G$ が積について可環なとき，すなわち任意の $g, h \in G$ に対して $g h = h g$ なるとき， $G$ を可換群（commutative group），あるいはAbel 群（Abelian group）という．

容易に分かるように，群における単位元と逆元は一意です．そこで，特に断らない限りは，単位元を常に

1 \in G

$1 \in G$ と表すことにします．

g \in G

$g \in G$ の逆元は

$g^{-1} \in G$ と表します．単位元の存在から，特に

$G \neq \emptyset$ も言えます．

群 $G$ の部分集合 $H \subset G$ が $G$ の部分群（subgroup）であるとは， $H$ が $G$ と同じ演算に関して群となること，すなわち任意の $g, h \in H$ に対して $g h, \ g^{-1} \in H$ となることをいう．このとき， $H \le G$ と書く．

$G$ の部分群 $H$ が正規（normal）であるとは， $H$ が $G$ の共役で不変であること，すなわち任意の $g \in G$ と $h \in H$ に対して $g h g^{-1} \in H$ となることをいう．このとき， $H \vartriangleleft G$ と書く．

$G$ が可換群ならば，

$G$ のすべての部分群は正規です．非可換群においては，部分群が正規であるとは限りません．

群の間の写像 $\varphi \colon G \to H$ が群準同型（group homomorphism）であるとは， $\varphi$ が $G$ の群構造を保存すること，すなわち

$\varphi (1) = 1$ ；
任意の $g, h \in G$ に対して $\varphi (g h) = \varphi (g) \varphi (h)$ ；
任意の $g \in G$ に対して $\varphi (g^{-1}) = \varphi (g)^{-1}$

となることをいう．

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ が群同型（group isomorphism）であるとは，群準同型 $\psi \colon H \to G$ が存在して， $\psi \circ \varphi = \id_G, \quad \varphi \circ \psi = \id_H$ となることをいう．群同型 $G \to H$ が存在するとき（従って群同型 $H \to G$ も存在するとき）， $G$ と $H$ は互いに群同型（group-isomorphic）であるといい， $G \cong H$ と書く．

群準同型，群同型（group isomorphism, group-isomorphic）を単に準同型（homomorphism），同型（isomorphism, isomorphic）とも言います．

群 $G$ とその正規部分群 $H \vartriangleleft G$ があるとき， $G$ 上の同値関係 $g \sim h \adef g^{-1} h \in H$ で割った商集合 $G /\! \sim$ は自然に群となり， $G /\! \sim {}= \{ g H \mid g \in G \}, \quad g H := \{ g h \mid h \in H \}$ という形をしている．この $G /\! \sim$ を $G / H := G /\! \sim$ と書き， $G$ の $H$ による剰余群（residue group）という．

このとき，写像 $\pi \colon G \to G / H, \ g \mapsto g H,$ は全射群準同型となる．この $\pi$ を標準的な全射（canonical surjection）といい， $\pi \colon G \surj G / H$ と書く．

「標準的」は，「自然な（natural）」とも言われます．つまり，「

$G$ から

$G / H$ への写像（群準同型）を作ろうと思ったときに，最も自然に考えられるもの」というキモチです．これは，後で見る圏論的な考えにも関係してきます．

準同型定理 Isomorphism theorem

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ に対して， $G$ の部分集合 $\Ker (\varphi) := \{ g \in G \mid \varphi (g) = 1 \} = \varphi^{-1} (1)$ を $\varphi$ の核（kernel）といい， $H$ の部分集合 $\Im (\varphi) := \{ \varphi (g) \mid g \in G \} = \varphi (G)$ を $\varphi$ の像（image）という．

$\varphi \colon G \to H$ を群準同型とする．このとき， $\Ker (\varphi) \vartriangleleft G, \quad \Im (\varphi) \le H.$

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ を考える．上の命題より， $\Ker (\varphi)$ は $G$ の正規部分群だから，その剰余群 $G / \Ker (\varphi)$ を構成することができる．このとき， $G / \Ker (\varphi) \cong \Im (\varphi).$

この定理を準同型定理（isomorphism theorem）と言います．（正確には第一準同型定理ですが．）

群の構成 Construction of groups

ここで考えるのは，群が一つ，または複数与えられたときに，新たな群を構成することです．

まず，群

$G, H$ があるとき，その直積集合

$G \times H$ が作れます．

$G \times H$ 上には，次のような群構造を入れるのが自然でしょう：

$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) := (g_1 g_2, h_1 h_2) \quad (g_1, g_2 \in G, \ h_1, h_2 \in H).$

このとき，単位元は

$(1, 1) \in G \times H$ ，

$(g, h) \in G \times H$ の逆元は

$(g^{-1}, h^{-1}) \in G \times H$ です．

上のように構成された群 $G \times H$ を， $G$ と $H$ の直積群（direct product group）と呼ぶ．

以下のように定まる写像

$\pi_1 \colon G \times H \to G, \ (g, h) \mapsto g$ ；
$\pi_2 \colon G \times H \to H, \ (g, h) \mapsto h$

は全射群準同型である．これらを標準的な射影（canonical projections）といい， $\pi_1 \colon G \times H \surj G$ や $\pi_2 \colon G \times H \surj H$ と書く．

$G$ は

$G \times H$ の正規部分群

$G' := \{ (g, 1) \in G \times H \mid g \in G \}$ と群同型になります．そこで，

$G$ と

$G'$ を同一視してみます．

$H$ も同様に，

$H' := \{ (1, h) \in G \times H \mid h \in H \}$ と同一視します．すると，標準的な射影

$\pi_1 \colon G \times H \surj G'$ は，標準的な全射

$\pi \colon G \times H \surj (G \times H) / H'$ に他ならないことが分かります．

$G$ を群とし， $S \subset G$ をその（空でも構わない）部分集合とする．このとき， $S$ を含むような $G$ の最小の部分群 $\gen{S}_G \le G$ が存在する．すなわち， $G$ の部分群 $\gen{S}_G$ であって， $S \subset \gen{S}_G$ かつ， $S \subset H \le G$ なる任意の部分群 $H$ に対して $\gen{S}_G \subset H$ となるようなものが存在する．

$\mathcal{S} := \{ H \le G \mid S \subset H \}$ とおいて， $\mathcal{S}$ に Zorn の補題を適用すれば，極小元 $H \in \mathcal{S}$ が存在することが分かる．これが最小元であることを示すために， $H' \in \mathcal{S}$ を任意に取る．もし $H \not\subset H'$ であれば， $H \cap H' \subsetneq H$ である．一方， $H, H' \in \mathcal{S}$ より， $H \cap H' \in \mathcal{S}$ である（実際， $H$ と $H'$ はともに部分群であるから $H \cap H' \le G$ ．また， $S \subset H, H'$ より， $S \subset H \cap H'$ ．よって $H \cap H' \in \mathcal{S}$ ．）が，これは $H$ の極小性に矛盾．よって $H \subset H'$ であるから， $H$ は $\mathcal{S}$ の最小元であることが言えた．

上の補題によって存在が保証された部分群 $\gen{S}_G$ を $S$ によって生成された部分群（subgroup generated by $S$ ）という．

$S = \emptyset$ のときは，

$\gen{S}_G = \{ 1 \}$ です．そうでないときは，

$\gen{S}_G = \{ s_1 s_2 \dotsm s_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ s_i \in S \ \text{or} \ s_i^{-1} \in S \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \}$ という形をしています．

集合 $S$ に対して， $S$ 上の語（words）全体からなる集合 $\gen{S} = \{ s_1 s_2 \dotsm s_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ s_i \in S \ \text{or} \ s_i^{-1} \in S \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \}$ を $S$ によって生成された自由群（free group generated by $S$ ），あるいは $S$ を基底とする自由群（free group with basis $S$ ）という．

群 $G$ と $H$ の直和（direct sum）とは， $G \oplus H := \{ x_1 x_2 \dotsm x_n \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}, \ x_i \in G \ \text{or} \ x_i \in H \ (1 \le i \le n) \} \cup \{ 1 \}$ という群のことである．

以下のように定まる写像

$\iota_1 \colon G \to G \oplus H, \ g \mapsto g$ ；
$\iota_2 \colon H \to G \oplus H, \ h \mapsto h$

は単射群準同型である．これらを標準的な入射（canonical injections）といい， $\iota_1 \colon G \incl G \oplus H$ や $\iota_2 \colon H \incl G \oplus H$ と書く．

群 $G$ の元 $g, h \in G$ に対して $[g, h] := g h g^{-1} h^{-1}$ とおき， $g$ と $h$ の交換子（commutator）という．

$G$ の空でない部分集合 $S, T \subset G$ に対して $[S, T] := \gen{\{ [s, t] \mid s \in S, t \in T \}}_G$ とおくと，特に $[G, G]$ は $G$ の正規部分群となる．この $[G, G] \vartriangleleft G$ を $G$ の交換子群（commutator group）といい，その剰余群 $\Ab G := G / [G, G]$ を $G$ のAbel 化（Abelianization）という．

その名前から想像できるように，

$\Ab G$ は可換群になります．さらに，

$G$ が可換群のときは

$[G, G] = \{ 1 \}$ なので，

$G \cong \Ab G$ となります．大雑把に言えば，

$[G, G]$ は

$G$ の「非可換度合」を測ったもので，

$G / [G, G]$ はその「非可換な部分」をすべて潰したもの，というイメージです．

以上で群論からの準備は終わりです．いよいよ圏論を考えていきましょう．