\renewcommand\le\leqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End}
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のいずれかまでお願いします．
まず剰余群とは何かについて考えましょう．剰余群とは，群 G の正規部分群 N \vartriangleleft G があったときに G を N で割ったもの G / N ですが，上で注意したように，ある群準同型 \varphi \colon G \to H があって N = \Ker (\varphi) なので（例えば H = G / N として，\varphi = \pi \colon G \surj G / N を標準的な全射とすればよいです），初めから G / \Ker (\varphi) というものを考えることにします．この \Coim (\varphi) := G / \Ker (\varphi) を \varphi の余像（coimage）といいます．
では \Coim (\varphi) とは何でしょうか．G の異なる元 g, h \in G が \varphi (g) = \varphi (h) であるとき，これらの元を「\varphi 無駄」（数学用語ではありません）と呼ぶことにすれば，\Ker (\varphi) は G の \varphi 無駄を集めてきたものなので，\Coim (\varphi) は「G の \varphi 無駄を過不足なく潰したもの」となります．（そもそも剰余群 \fallingdotseq 商集合とはそういうものでした．）
従って \varphi 無駄の無い \Coim (\varphi) は \Im (\varphi) と同一視できると期待できますが，実際にそうだというのが（第一）準同型定理の主張です．
ではこの「\varphi 無駄の無さ」を圏論的にどう表現すればよいのでしょうか．\Ker (\varphi) の場合に倣って，群 \Coim (\varphi) と群準同型 \pi \colon G \surj \Coim (\varphi) のペアとして考えていきましょう．\Coim (\varphi) について今知っていることは，
ことです．
そこで，別の群 C' と群準同型 \pi' \colon G \to C' のペアであって，
であるとしましょう．核との類推によると，ただ一つの群準同型 \widetilde{\pi'} \colon C' \to \Coim (\varphi) が存在して，\pi = \widetilde{\pi'} \circ \pi' かつ \widetilde\varphi' = \widetilde\varphi \circ \widetilde{\pi'} となると予想できます．
この群準同型 \widetilde{\pi'} \colon C' \to C を構成するために，まず \Ker (\pi') \subset \Ker (\varphi) に注意しましょう．すると，群準同型 \pi_0 \colon G / \Ker (\pi') \to G / \Ker (\varphi) = \Coim (\varphi) が \pi_0 (g \Ker (\pi')) := g \Ker (\varphi) によって well-defined に定まります．さらに準同型定理によって群同型 \pi_1 \colon C' \to G / \Ker (\pi') が存在するので， \widetilde{\pi'} := \pi_0 \circ \pi_1 とおけば，必要な条件をすべて満たすことが分かります．従って次の余像の普遍性（universal property of coimages）を得ます：
群の間の群準同型 \varphi \colon G \to H が与えられたとき，次の条件を満たす群 C と全射群準同型 \pi \colon G \to C のペアが同型を除いて一意に存在する：
次に，全射を圏論的に書き換えましょう．写像 \varphi \colon X \to Y が全射（surjection）であるとは， \forall y \in Y, \ \exists x \in X, \ y = \varphi (x) となることです．一方，圏論では次のような定義があります：
写像 \varphi \colon X \to Y がエピ射（epimorphism）であるとは，任意の写像 \psi_1, \psi_2 \colon Y \to Z に対して，\psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi ならば \psi_1 = \psi_2 なることをいう． \forall \psi_1, \psi_2 \colon Y \to Z, \ \psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi \Longrightarrow \psi_1 = \psi_2
一般にこれらは一致しませんが，集合の圏等の特別な場合には一致します．群の圏もその一つです．すなわち，
群準同型 \varphi \colon G \to H に対して，\varphi が全射であるための必要十分条件は \varphi がエピ射であることである． \varphi \colon \text{surj.} \Longleftrightarrow \varphi \colon \text{epi.}
\Longrightarrow)
\varphi を全射とし，\psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi なる任意の群準同型 \psi_1, \psi_2 \colon H \to H' を取る．\varphi の全射性より，\varphi \circ \psi = \id_H なる写像 \psi \colon H \to G が存在するから， \begin{align*} \psi_1 &= \psi_1 \circ (\varphi \circ \psi) \\ &= (\psi_1 \circ \varphi) \circ \psi \\ &= (\psi_2 \circ \varphi) \circ \psi \\ &= \psi_2 \circ (\varphi \circ \psi) \\ &= \psi_2 \end{align*} となる．よって，\varphi はエピ射．
\Longleftarrow)
\varphi をエピ射とし，次のような群準同型 \psi_1, \psi_2 \colon H \to H / \Im (\varphi) を考える： \begin{align*} \psi_1 (h) &:= h \Im (\varphi), \\ \psi_2 (h) &:= \Im (\varphi). \end{align*} 容易に分かるように \psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi だから，\varphi のエピ性より，\psi_1 = \psi_2．よって \varphi は全射となる．
この証明に出てきた \Coker (\varphi) := H / \Im (\varphi) は余核（cokernel）と呼ばれ，核と圏論的に双対的な概念です．
もちろん上の証明では，次のよく知られた事実を用いました：
集合間の写像 \varphi \colon X \to Y が全射であるための必要十分条件は，ある写像 \psi \colon Y \to X が存在して，\varphi \circ \psi = \id_Y とできることである．
写像 \varphi \colon X \to Y が単射であるための必要十分条件は，ある写像 \psi \colon Y \to X が存在して，\psi \circ \varphi = \id_X とできることである．
群準同型 \varphi \colon G \to H が全射であるための必要十分条件は，余核が \Coker (\varphi) = \{ 1 := \Im (\varphi) \} となることである．
群準同型 \varphi \colon G \to H が単射であるための必要十分条件は，核が \Ker (\varphi) = \{ 1 \} となることである．
ついでなので単射についても見てみましょう．写像 \varphi \colon X \to Y が単射（injection）であるとは， \forall x_1, x_2 \in X, \ x_1 \neq x_2 \Longrightarrow \varphi (x_1) \neq \varphi (x_2) となることです．圏論では，
写像 \varphi \colon X \to Y がモノ射（monomorphism）であるとは，任意の写像 \psi_1, \psi_2 \colon Z \to X に対して，\varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2 ならば \psi_1 = \psi_2 なることをいう． \forall \psi_1, \psi_2 \colon Z \to X, \ \varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2 \Longrightarrow \psi_1 = \psi_2
これらも一般には一致しませんが，集合の圏や群の圏では一致します．
群準同型 \varphi \colon G \to H に対して，\varphi が単射であるための必要十分条件は \varphi がモノ射であることである． \varphi \colon \text{inj.} \Longleftrightarrow \varphi \colon \text{mono.}
\Longrightarrow)
\varphi を単射とし，\varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2 なる任意の群準同型 \psi_1, \psi_2 \colon H' \to H を取る．\varphi の単射性より，\psi \circ \varphi = \id_G なる写像 \psi \colon H \to G が存在するから， \begin{align*} \psi_1 &= (\psi \circ \varphi) \circ \psi_1 \\ &= \psi \circ (\varphi \circ \psi_1) \\ &= \psi \circ (\varphi \circ \psi_2) \\ &= (\psi \circ \varphi) \circ \psi_2 \\ &= \psi_2 \end{align*} となる．よって，\varphi はモノ射．
\Longleftarrow)
\varphi をモノ射とし，次のような群準同型 \psi_1, \psi_2 \colon \Ker (\varphi) \to G を考える： \begin{align*} \psi_1 (g) &:= g, \\ \psi_2 (g) &:= 1. \\ \end{align*} 容易に分かるように \varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2 だから，\varphi のモノ性より，\psi_1 = \psi_2．よって \varphi は単射．
直積の普遍性は，大雑把に言って，「ペアを作ること」です．群 G_1, G_2 とそれらの元 g_1 \in G_1, g_2 \in G_2 があったときに，ペア (g_1, g_2) \in G_1 \times G_2 を作ることができます．また，群準同型 \varphi_1 \colon H \to G_1, \varphi_2 \colon H \to G_2 があったときに，ペア (\varphi_1, \varphi_2) \colon H \to G_1 \times G_2 を， (\varphi_1, \varphi_2) (h) := (\varphi_1 (h), \varphi_2 (h)) によって定めることができます．さらに，群準同型 \varphi_1 \colon G_1 \to H_1 と \varphi_2 \colon G_2 \to H_2 から，(\varphi_1 \times \varphi_2) (g_1, g_2) := (\varphi_1 (g_1), \varphi_2 (g_2)) という新たな群準同型 \varphi_1 \times \varphi_2 \colon G_1 \times G_2 \to H_1 \times H_2 が構成されます． このことをまとめると，
群 G_1, G_2 に対して，次の条件を満たす群 \Pi と群準同型 \pi_1 \colon \Pi \to G_1, \pi_2 \colon \Pi \to G_2 が同型を除いて一意に存在する：
もちろん，\Pi = G_1 \times G_2 で，\pi_1, \pi_2 は標準的な射影，\varphi = (\varphi_1, \varphi_2) です．
G_1, G_2, H_1, H_2 という群と群準同型 \varphi_1 \colon G_1 \to H_1，\varphi_2 \colon G_2 \to H_2 を取る．\pi_1 \colon G_1 \times G_2 \surj G_1, \pi_2 \colon G_1 \times G_2 \surj G_2, \pi'_1 \colon H_1 \times H_2 \surj H_1, \pi'_2 \colon H_1 \times H_2 \surj H_2 を標準的な射影とする．このとき，ただ一つの群準同型 \varphi \colon G_1 \times G_2 \to H_1 \times H_2 が存在して， \begin{align*} \varphi_1 \circ \pi_1 = \pi'_1 \circ \varphi, \\ \varphi_2 \circ \pi_2 = \pi'_2 \circ \varphi \end{align*} となる．
\varphi = \varphi_1 \times \varphi_2 := (\varphi_1 \circ \pi_1, \varphi_2 \circ \pi_2) である．
直和の普遍性は，「包含すること」です．「埋め込み」と言ってもいいです．群 G_1 と G_2 があったときに，これらを部分群として含むような最小の群が直和 G_1 \oplus G_2 です．G_1 と G_2 は標準的な入射によって，自然に G_1 \oplus G_2 の部分群とみなすことができます．さらに，群準同型 \varphi_1 \colon G_1 \to H, \varphi_2 \colon G_2 \to H があれば，それらを拡張した群準同型 \gen{\varphi_1, \varphi_2} \colon G_1 \oplus G_2 \to H が存在します．具体的には， \gen{\varphi_1, \varphi_2} (\dotsm g_n h_n g_{n + 1} h_{n + 1} \dotsm) = \dotsm \varphi_1 (g_n) \varphi_2 (h_n) \varphi_1 (g_{n + 1}) \varphi_2 (h_{n + 1}) \dotsm というように定義されます（g_n \in G_1, h_n \in G_2）．直積のときと同じように，群準同型 \varphi_1 \colon G_1 \to H_1 と \varphi_2 \colon G_2 \to H_2 を考えましょう．写像 \varphi_1 \oplus \varphi_2 \colon G_1 \oplus G_2 \to H_1 \oplus H_2 を， \varphi_1 \oplus \varphi_2 := \gen{\iota'_1 \circ \varphi_1, \iota'_2 \circ \varphi_2} （\iota'_1 \colon H_1 \incl H_1 \oplus H_2, \iota_2 \colon H_2 \incl H_1 \oplus H_2 は標準的な入射）によって定めれば，これは群準同型になります．まとめると，
群 G_1, G_2 に対して，次の条件を満たす群 \Sigma と群準同型 \iota_1 \colon G_1 \to \Sigma, \iota_2 \colon G_2 \to \Sigma が同型を除いて一意に存在する：
この場合は \Sigma = G_1 \oplus G_2 で，\iota_1, \iota_2 は標準的な入射，\varphi = \gen{\varphi_1, \varphi_2} です．
G_1, G_2, H_1, H_2 という群と群準同型 \varphi_1 \colon G_1 \to H_1，\varphi_2 \colon G_2 \to H_2 を取る．\iota_1 \colon G_1 \incl G_1 \oplus G_2, \iota_2 \colon G_2 \incl G_1 \oplus G_2, \iota'_1 \colon H_1 \incl H_1 \oplus H_2, \iota'_2 \colon H_2 \incl H_1 \oplus H_2 を標準的な入射とする．このとき，ただ一つの群準同型 \varphi \colon G_1 \oplus G_2 \to H_1 \oplus H_2 が存在して， \begin{align*} \varphi_\circ \iota_1 = \iota'_1 \circ \varphi_1, \\ \varphi \circ \iota_2 = \iota'_2 \circ \varphi_2 \end{align*} となる．
\varphi = \varphi_1 \oplus \varphi_2 := \gen{\iota'_1 \circ \varphi_1, \iota'_2 \circ \varphi_2} である．
Abel 化の普遍性は，その名の通り「可換性」でしょう．群 G とそのAbel 化 \Ab G，および標準的な全射 \pi \colon G \surj \Ab G を考えます．
可換群 H と群準同型 \varphi \colon G \to H があれば，任意の g_1, g_2 \in G に対して \varphi (g_1 g_2) = \varphi (g_1) \varphi (g_2) = \varphi (g_2) \varphi (g_1) = \varphi (g_2 g_1) が成り立つので，[g_1, g_2] := g_1 g_2 g_1^{-1} g_2^{-1} \in \Ker (\varphi) となります．よって \Ker (\pi) = [G, G] \subset \Ker (\varphi) が分かります．すると，群準同型 \widetilde\varphi \colon \Ab G \to H が， \widetilde\varphi (g [G, G]) := \varphi (g) によって well-defined に定まります．この \widetilde\varphi は，当然 \widetilde\varphi \circ \pi = \varphi を満たします．
群 G に対して，次の条件を満たす群 A と群準同型 \pi \colon G \to A とペアが同型を除いて一意に存在する：
群 G, H と群準同型 \varphi \colon G \to H を任意に取る．\pi \colon G \surj \Ab G, \pi' \colon H \surj \Ab H を標準的な全射とする．このとき，ただ一つの群準同型 \widetilde\varphi \colon \Ab G \to \Ab H が存在して， \widetilde\varphi \circ \pi = \pi' \circ \varphi となる．
可換群 \Ab H と群準同型 \pi' \circ \varphi \colon G \to \Ab H に対して Abel 化の普遍性を適用すればよい．
圏論を学んでいる人なら，上の三つ（直積，直和，Abel 化）が関手であることに気づくでしょう．（実は核や余像も関手ですが，ここでは省略します．）つまり，直積と直和は \times, \oplus \colon \Grp \times \Grp \to \Grp という関手，Abel 化は \Ab \colon \Grp \to \Abl という関手になっています．ここで，\Grp は群とその間の群準同型からなる圏であり，\Abl は可換群とその間の群準同型からなる圏です．
さらに，Theorems によると，次のような（集合としての）全単射があります： \begin{align*} &\Grp (H, G_1 \times G_2) \cong \Grp (H, G_1) \times \Grp (H, G_2), &\quad& \varphi \mapsto (\pi_1 \circ \varphi, \pi_2 \circ \varphi), \\ &\Grp (G_1 \oplus G_2, H) \cong \Grp (G_1, H) \times \Grp (G_2, H), &\quad& \varphi \mapsto (\varphi \circ \iota_1, \varphi \circ \iota_2), \\ &\Abl (G, A) \cong \Grp (\Ab G, A), &\quad& \varphi \mapsto \varphi \circ \pi. \end{align*} ここで，G, G_1, G_2, H は群，A は可換群，\pi, \pi_1, \pi_2, \iota_1, \iota_2 は標準的な群準同型です． 実は，これらの全単射は自然同型（natural isomorphism）です．その意味は，上の全単射を関手間の変換（の G_1, G_2, H, etc. における対応）と見たときに，これらが自然変換である，ということです．それは，Theorems の「ただ一つの」という部分を使えば示すことができます．たとえば，一番上だけ見てみましょう．
\Grp (H, G_1 \times G_2) \cong \Grp (H, G_1) \times \Grp (H, G_2), \quad \varphi \mapsto (\pi_1 \circ \varphi, \pi_2 \circ \varphi), という全単射は自然同型である．
次のような関手 F_1, F_2 \colon \Grp^\op \times \Grp \times \Grp \to \Set を考える： \begin{align*} F_1 (H, G_1, G_2) &:= \Grp (H, G_1 \times G_2), \\ F_2 (H, G_1, G_2) &:= \Grp (H, G_1) \times \Grp (H, G_2). \end{align*} これらは実際に関手になる．なぜなら，群準同型 \varphi_H \colon H' \to H, \varphi_1 \colon G_1 \to G'_1, \varphi_2 \colon G_2 \to G'_2 を取ったときに，群準同型 F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \colon F_1 (H, G_1, G_2) \to F_1 (H', G'_1, G'_2) と F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \colon F_2 (H, G_1, G_2) \to F_2 (H', G'_1, G'_2) が \begin{align*} F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) (\varphi) &:= (\varphi_1 \times \varphi_2) \circ \varphi \circ \varphi_H, \\ F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) (\varphi, \psi) &:= (\varphi_1 \circ \varphi \circ \varphi_H) \times (\varphi_2 \circ \psi \circ \varphi_H) \end{align*} によって定まるからである．上のように定義される変換を \tau_{H, G_1, G_2} \colon F_1 (H, G_1, G_2) \to F_2 (H, G_1, G_2) とおく．\tau \colon F_1 \to F_2 が自然変換であること，すなわち \tau_{H', G'_1, G'_2} \circ F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) = F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \circ \tau_{H, G_1, G_2} を示せばよい．これは定義に従って丁寧に計算すれば確かめられる．