その他の普遍性 –Naughie's Advent Calendar

\[ \renewcommand\le\leqslant \newcommand\id{\mathrm{id}} \newcommand\adef{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand\surj\twoheadrightarrow \newcommand\incl\hookrightarrow \newcommand\gen[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Set{\mathbf{Set}} \newcommand\Grp{\mathbf{Grp}} \newcommand\Abl{\mathbf{Abl}} \newcommand\op{\mathrm{op}} \newcommand\frk\mathfrak \newcommand\brk[1]{[ #1 ]} \DeclareMathOperator\Ker{Ker} \let\Im\relax \DeclareMathOperator\Im{Im} \DeclareMathOperator\Ab{Ab} \DeclareMathOperator\Coim{Coim} \DeclareMathOperator\Coker{Coker} \DeclareMathOperator\End{End} \]

目次 Table of Contents

剰余群 Residue groups

まず剰余群とは何かについて考えましょう．剰余群とは，群 $G$ の正規部分群 $N \vartriangleleft G$ があったときに $G$ を $N$ で割ったもの $G / N$ ですが，上で注意したように，ある群準同型 $\varphi \colon G \to H$ があって $N = \Ker (\varphi)$ なので（例えば $H = G / N$ として，$\varphi = \pi \colon G \surj G / N$ を標準的な全射とすればよいです），初めから $G / \Ker (\varphi)$ というものを考えることにします．この $\Coim (\varphi) := G / \Ker (\varphi)$ を $\varphi$ の余像（coimage）といいます．

では $\Coim (\varphi)$ とは何でしょうか．$G$ の異なる元 $g, h \in G$ が $\varphi (g) = \varphi (h)$ であるとき，これらの元を「$\varphi$ 無駄」（数学用語ではありません）と呼ぶことにすれば，$\Ker (\varphi)$ は $G$ の $\varphi$ 無駄を集めてきたものなので，$\Coim (\varphi)$ は「$G$ の $\varphi$ 無駄を過不足なく潰したもの」となります．（そもそも剰余群 $\fallingdotseq$ 商集合とはそういうものでした．）

従って $\varphi$ 無駄の無い $\Coim (\varphi)$ は $\Im (\varphi)$ と同一視できると期待できますが，実際にそうだというのが（第一）準同型定理の主張です．

ではこの「$\varphi$ 無駄の無さ」を圏論的にどう表現すればよいのでしょうか．$\Ker (\varphi)$ の場合に倣って，群 $\Coim (\varphi)$ と群準同型 $\pi \colon G \surj \Coim (\varphi)$ のペアとして考えていきましょう．$\Coim (\varphi)$ について今知っていることは，

そこで，別の群 $C'$ と群準同型 $\pi' \colon G \to C'$ のペアであって，

であるとしましょう．核との類推によると，ただ一つの群準同型 $\widetilde{\pi'} \colon C' \to \Coim (\varphi)$ が存在して，$\pi = \widetilde{\pi'} \circ \pi'$ かつ $\widetilde\varphi' = \widetilde\varphi \circ \widetilde{\pi'}$ となると予想できます．

この群準同型 $\widetilde{\pi'} \colon C' \to C$ を構成するために，まず $\Ker (\pi') \subset \Ker (\varphi)$ に注意しましょう．すると，群準同型 $\pi_0 \colon G / \Ker (\pi') \to G / \Ker (\varphi) = \Coim (\varphi)$ が \[ \pi_0 (g \Ker (\pi')) := g \Ker (\varphi) \] によって well-defined に定まります．さらに準同型定理によって群同型 $\pi_1 \colon C' \to G / \Ker (\pi')$ が存在するので， \[ \widetilde{\pi'} := \pi_0 \circ \pi_1 \] とおけば，必要な条件をすべて満たすことが分かります．従って次の余像の普遍性（universal property of coimages）を得ます：

群の間の群準同型 $\varphi \colon G \to H$ が与えられたとき，次の条件を満たす群 $C$ と全射群準同型 $\pi \colon G \to C$ のペアが同型を除いて一意に存在する：

ある群準同型 $\widetilde\varphi \colon C \to H$ が存在して，$\varphi = \widetilde\varphi \circ \pi$；
任意の群 $C'$ と全射群準同型 $\pi' \colon G \to C'$ のペアであって，ある群準同型 $\widetilde\varphi' \colon C' \to H$ が存在して $\varphi = \widetilde\varphi' \circ \pi'$ とできるものに対して，ただ一つの群準同型 $\widetilde{\pi'} \colon C' \to C$ が存在して，$\pi = \widetilde{\pi'} \circ \pi'$ かつ $\widetilde\varphi' = \widetilde\varphi \circ \widetilde{\pi'}$ となる．

全射と単射 Surjections and injections

次に，全射を圏論的に書き換えましょう．写像 $\varphi \colon X \to Y$ が全射（surjection）であるとは， \[ \forall y \in Y, \ \exists x \in X, \ y = \varphi (x) \] となることです．一方，圏論では次のような定義があります：

写像 $\varphi \colon X \to Y$ がエピ射（epimorphism）であるとは，任意の写像 $\psi_1, \psi_2 \colon Y \to Z$ に対して，$\psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi$ ならば $\psi_1 = \psi_2$ なることをいう． \[ \forall \psi_1, \psi_2 \colon Y \to Z, \ \psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi \Longrightarrow \psi_1 = \psi_2 \]

一般にこれらは一致しませんが，集合の圏等の特別な場合には一致します．群の圏もその一つです．すなわち，

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ に対して，$\varphi$ が全射であるための必要十分条件は $\varphi$ がエピ射であることである． \[ \varphi \colon \text{surj.} \Longleftrightarrow \varphi \colon \text{epi.} \]

$\Longrightarrow$)

$\varphi$ を全射とし，$\psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi$ なる任意の群準同型 $\psi_1, \psi_2 \colon H \to H'$ を取る．$\varphi$ の全射性より，$\varphi \circ \psi = \id_H$ なる写像 $\psi \colon H \to G$ が存在するから， \[ \begin{align*} \psi_1 &= \psi_1 \circ (\varphi \circ \psi) \\ &= (\psi_1 \circ \varphi) \circ \psi \\ &= (\psi_2 \circ \varphi) \circ \psi \\ &= \psi_2 \circ (\varphi \circ \psi) \\ &= \psi_2 \end{align*} \] となる．よって，$\varphi$ はエピ射．

$\Longleftarrow$)

$\varphi$ をエピ射とし，次のような群準同型 $\psi_1, \psi_2 \colon H \to H / \Im (\varphi)$ を考える： \[ \begin{align*} \psi_1 (h) &:= h \Im (\varphi), \\ \psi_2 (h) &:= \Im (\varphi). \end{align*} \] 容易に分かるように $\psi_1 \circ \varphi = \psi_2 \circ \varphi$ だから，$\varphi$ のエピ性より，$\psi_1 = \psi_2$．よって $\varphi$ は全射となる．

この証明に出てきた $\Coker (\varphi) := H / \Im (\varphi)$ は余核（cokernel）と呼ばれ，核と圏論的に双対的な概念です．

もちろん上の証明では，次のよく知られた事実を用いました：

集合間の写像 $\varphi \colon X \to Y$ が全射であるための必要十分条件は，ある写像 $\psi \colon Y \to X$ が存在して，$\varphi \circ \psi = \id_Y$ とできることである．

写像 $\varphi \colon X \to Y$ が単射であるための必要十分条件は，ある写像 $\psi \colon Y \to X$ が存在して，$\psi \circ \varphi = \id_X$ とできることである．

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ が全射であるための必要十分条件は，余核が $\Coker (\varphi) = \{ 1 := \Im (\varphi) \}$ となることである．

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ が単射であるための必要十分条件は，核が $\Ker (\varphi) = \{ 1 \}$ となることである．

ついでなので単射についても見てみましょう．写像 $\varphi \colon X \to Y$ が単射（injection）であるとは， \[ \forall x_1, x_2 \in X, \ x_1 \neq x_2 \Longrightarrow \varphi (x_1) \neq \varphi (x_2) \] となることです．圏論では，

写像 $\varphi \colon X \to Y$ がモノ射（monomorphism）であるとは，任意の写像 $\psi_1, \psi_2 \colon Z \to X$ に対して，$\varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2$ ならば $\psi_1 = \psi_2$ なることをいう． \[ \forall \psi_1, \psi_2 \colon Z \to X, \ \varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2 \Longrightarrow \psi_1 = \psi_2 \]

これらも一般には一致しませんが，集合の圏や群の圏では一致します．

群準同型 $\varphi \colon G \to H$ に対して，$\varphi$ が単射であるための必要十分条件は $\varphi$ がモノ射であることである． \[ \varphi \colon \text{inj.} \Longleftrightarrow \varphi \colon \text{mono.} \]

$\Longrightarrow$)

$\varphi$ を単射とし，$\varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2$ なる任意の群準同型 $\psi_1, \psi_2 \colon H' \to H$ を取る．$\varphi$ の単射性より，$\psi \circ \varphi = \id_G$ なる写像 $\psi \colon H \to G$ が存在するから， \[ \begin{align*} \psi_1 &= (\psi \circ \varphi) \circ \psi_1 \\ &= \psi \circ (\varphi \circ \psi_1) \\ &= \psi \circ (\varphi \circ \psi_2) \\ &= (\psi \circ \varphi) \circ \psi_2 \\ &= \psi_2 \end{align*} \] となる．よって，$\varphi$ はモノ射．

$\Longleftarrow$)

$\varphi$ をモノ射とし，次のような群準同型 $\psi_1, \psi_2 \colon \Ker (\varphi) \to G$ を考える： \[ \begin{align*} \psi_1 (g) &:= g, \\ \psi_2 (g) &:= 1. \\ \end{align*} \] 容易に分かるように $\varphi \circ \psi_1 = \varphi \circ \psi_2$ だから，$\varphi$ のモノ性より，$\psi_1 = \psi_2$．よって $\varphi$ は単射．

直積 Direct pruducts

直積の普遍性は，大雑把に言って，「ペアを作ること」です．群 $G_1, G_2$ とそれらの元 $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$ があったときに，ペア $(g_1, g_2) \in G_1 \times G_2$ を作ることができます．また，群準同型 $\varphi_1 \colon H \to G_1, \varphi_2 \colon H \to G_2$ があったときに，ペア $(\varphi_1, \varphi_2) \colon H \to G_1 \times G_2$ を， \[ (\varphi_1, \varphi_2) (h) := (\varphi_1 (h), \varphi_2 (h)) \] によって定めることができます．さらに，群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H_1$ と $\varphi_2 \colon G_2 \to H_2$ から，$(\varphi_1 \times \varphi_2) (g_1, g_2) := (\varphi_1 (g_1), \varphi_2 (g_2))$ という新たな群準同型 $\varphi_1 \times \varphi_2 \colon G_1 \times G_2 \to H_1 \times H_2$ が構成されます．このことをまとめると，

群 $G_1, G_2$ に対して，次の条件を満たす群 $\Pi$ と群準同型 $\pi_1 \colon \Pi \to G_1, \pi_2 \colon \Pi \to G_2$ が同型を除いて一意に存在する：

任意の群 $H$ と群準同型 $\varphi_1 \colon H \to G_1, \varphi_2 \colon H \to G_2$ に対して，ただ一つの群準同型 $\varphi \colon H \to \Pi$ が存在して，$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1, \pi_2 \circ \varphi = \varphi_2$ とできる．

もちろん，$\Pi = G_1 \times G_2$ で，$\pi_1, \pi_2$ は標準的な射影，$\varphi = (\varphi_1, \varphi_2)$ です．

$G_1, G_2, H_1, H_2$ という群と群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H_1$，$\varphi_2 \colon G_2 \to H_2$ を取る．$\pi_1 \colon G_1 \times G_2 \surj G_1, \pi_2 \colon G_1 \times G_2 \surj G_2, \pi'_1 \colon H_1 \times H_2 \surj H_1, \pi'_2 \colon H_1 \times H_2 \surj H_2$ を標準的な射影とする．このとき，ただ一つの群準同型 $\varphi \colon G_1 \times G_2 \to H_1 \times H_2$ が存在して， \[ \begin{align*} \varphi_1 \circ \pi_1 = \pi'_1 \circ \varphi, \\ \varphi_2 \circ \pi_2 = \pi'_2 \circ \varphi \end{align*} \] となる．

$\varphi = \varphi_1 \times \varphi_2 := (\varphi_1 \circ \pi_1, \varphi_2 \circ \pi_2)$ である．

直和 Direct sums

直和の普遍性は，「包含すること」です．「埋め込み」と言ってもいいです．群 $G_1$ と $G_2$ があったときに，これらを部分群として含むような最小の群が直和 $G_1 \oplus G_2$ です．$G_1$ と $G_2$ は標準的な入射によって，自然に $G_1 \oplus G_2$ の部分群とみなすことができます．さらに，群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H, \varphi_2 \colon G_2 \to H$ があれば，それらを拡張した群準同型 $\gen{\varphi_1, \varphi_2} \colon G_1 \oplus G_2 \to H$ が存在します．具体的には， \[ \gen{\varphi_1, \varphi_2} (\dotsm g_n h_n g_{n + 1} h_{n + 1} \dotsm) = \dotsm \varphi_1 (g_n) \varphi_2 (h_n) \varphi_1 (g_{n + 1}) \varphi_2 (h_{n + 1}) \dotsm \] というように定義されます（$g_n \in G_1, h_n \in G_2$）．直積のときと同じように，群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H_1$ と $\varphi_2 \colon G_2 \to H_2$ を考えましょう．写像 $\varphi_1 \oplus \varphi_2 \colon G_1 \oplus G_2 \to H_1 \oplus H_2$ を， \[ \varphi_1 \oplus \varphi_2 := \gen{\iota'_1 \circ \varphi_1, \iota'_2 \circ \varphi_2} \] （$\iota'_1 \colon H_1 \incl H_1 \oplus H_2, \iota_2 \colon H_2 \incl H_1 \oplus H_2$ は標準的な入射）によって定めれば，これは群準同型になります．まとめると，

群 $G_1, G_2$ に対して，次の条件を満たす群 $\Sigma$ と群準同型 $\iota_1 \colon G_1 \to \Sigma, \iota_2 \colon G_2 \to \Sigma$ が同型を除いて一意に存在する：

任意の群 $H$ と群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H, \varphi_2 \colon G_2 \to H$ に対して，ただ一つの群準同型 $\varphi \colon \Sigma \to H$ が存在して，$\varphi \circ \iota_1 = \varphi_1, \varphi \circ \iota_2 = \varphi_2$ とできる．

この場合は $\Sigma = G_1 \oplus G_2$ で，$\iota_1, \iota_2$ は標準的な入射，$\varphi = \gen{\varphi_1, \varphi_2}$ です．

$G_1, G_2, H_1, H_2$ という群と群準同型 $\varphi_1 \colon G_1 \to H_1$，$\varphi_2 \colon G_2 \to H_2$ を取る．$\iota_1 \colon G_1 \incl G_1 \oplus G_2, \iota_2 \colon G_2 \incl G_1 \oplus G_2, \iota'_1 \colon H_1 \incl H_1 \oplus H_2, \iota'_2 \colon H_2 \incl H_1 \oplus H_2$ を標準的な入射とする．このとき，ただ一つの群準同型 $\varphi \colon G_1 \oplus G_2 \to H_1 \oplus H_2$ が存在して， \[ \begin{align*} \varphi_\circ \iota_1 = \iota'_1 \circ \varphi_1, \\ \varphi \circ \iota_2 = \iota'_2 \circ \varphi_2 \end{align*} \] となる．

$\varphi = \varphi_1 \oplus \varphi_2 := \gen{\iota'_1 \circ \varphi_1, \iota'_2 \circ \varphi_2}$ である．

Abel 化 Abelianization

Abel 化の普遍性は，その名の通り「可換性」でしょう．群 $G$ とそのAbel 化 $\Ab G$，および標準的な全射 $\pi \colon G \surj \Ab G$ を考えます．

可換群 $H$ と群準同型 $\varphi \colon G \to H$ があれば，任意の $g_1, g_2 \in G$ に対して \[ \varphi (g_1 g_2) = \varphi (g_1) \varphi (g_2) = \varphi (g_2) \varphi (g_1) = \varphi (g_2 g_1) \] が成り立つので，$[g_1, g_2] := g_1 g_2 g_1^{-1} g_2^{-1} \in \Ker (\varphi)$ となります．よって \[ \Ker (\pi) = [G, G] \subset \Ker (\varphi) \] が分かります．すると，群準同型 $\widetilde\varphi \colon \Ab G \to H$ が， \[ \widetilde\varphi (g [G, G]) := \varphi (g) \] によって well-defined に定まります．この $\widetilde\varphi$ は，当然 $\widetilde\varphi \circ \pi = \varphi$ を満たします．

群 $G$ に対して，次の条件を満たす群 $A$ と群準同型 $\pi \colon G \to A$ とペアが同型を除いて一意に存在する：

$A$ は可換群；
任意の可換群 $H$ と群準同型 $\varphi \colon G \to H$ に対して，ただ一つの群準同型 $\widetilde\varphi \colon A \to H$ が存在して，$\widetilde\varphi \circ \pi = \varphi$ とできる．

群 $G, H$ と群準同型 $\varphi \colon G \to H$ を任意に取る．$\pi \colon G \surj \Ab G, \pi' \colon H \surj \Ab H$ を標準的な全射とする．このとき，ただ一つの群準同型 $\widetilde\varphi \colon \Ab G \to \Ab H$ が存在して， \[ \widetilde\varphi \circ \pi = \pi' \circ \varphi \] となる．

可換群 $\Ab H$ と群準同型 $\pi' \circ \varphi \colon G \to \Ab H$ に対して Abel 化の普遍性を適用すればよい．

普遍性と関手 Universalities and functors

圏論を学んでいる人なら，上の三つ（直積，直和，Abel 化）が関手であることに気づくでしょう．（実は核や余像も関手ですが，ここでは省略します．）つまり，直積と直和は \[ \times, \oplus \colon \Grp \times \Grp \to \Grp \] という関手，Abel 化は \[ \Ab \colon \Grp \to \Abl \] という関手になっています．ここで，$\Grp$ は群とその間の群準同型からなる圏であり，$\Abl$ は可換群とその間の群準同型からなる圏です．

さらに，Theorems によると，次のような（集合としての）全単射があります： \[ \begin{align*} &\Grp (H, G_1 \times G_2) \cong \Grp (H, G_1) \times \Grp (H, G_2), &\quad& \varphi \mapsto (\pi_1 \circ \varphi, \pi_2 \circ \varphi), \\ &\Grp (G_1 \oplus G_2, H) \cong \Grp (G_1, H) \times \Grp (G_2, H), &\quad& \varphi \mapsto (\varphi \circ \iota_1, \varphi \circ \iota_2), \\ &\Abl (G, A) \cong \Grp (\Ab G, A), &\quad& \varphi \mapsto \varphi \circ \pi. \end{align*} \] ここで，$G, G_1, G_2, H$ は群，$A$ は可換群，$\pi, \pi_1, \pi_2, \iota_1, \iota_2$ は標準的な群準同型です．実は，これらの全単射は自然同型（natural isomorphism）です．その意味は，上の全単射を関手間の変換（の $G_1, G_2, H, $ etc. における対応）と見たときに，これらが自然変換である，ということです．それは，Theorems の「ただ一つの」という部分を使えば示すことができます．たとえば，一番上だけ見てみましょう．

次のような関手 $F_1, F_2 \colon \Grp^\op \times \Grp \times \Grp \to \Set$ を考える： \[ \begin{align*} F_1 (H, G_1, G_2) &:= \Grp (H, G_1 \times G_2), \\ F_2 (H, G_1, G_2) &:= \Grp (H, G_1) \times \Grp (H, G_2). \end{align*} \] これらは実際に関手になる．なぜなら，群準同型 $\varphi_H \colon H' \to H, \varphi_1 \colon G_1 \to G'_1, \varphi_2 \colon G_2 \to G'_2$ を取ったときに，群準同型 $F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \colon F_1 (H, G_1, G_2) \to F_1 (H', G'_1, G'_2)$ と $F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \colon F_2 (H, G_1, G_2) \to F_2 (H', G'_1, G'_2)$ が \[ \begin{align*} F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) (\varphi) &:= (\varphi_1 \times \varphi_2) \circ \varphi \circ \varphi_H, \\ F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) (\varphi, \psi) &:= (\varphi_1 \circ \varphi \circ \varphi_H) \times (\varphi_2 \circ \psi \circ \varphi_H) \end{align*} \] によって定まるからである．上のように定義される変換を $\tau_{H, G_1, G_2} \colon F_1 (H, G_1, G_2) \to F_2 (H, G_1, G_2)$ とおく．$\tau \colon F_1 \to F_2$ が自然変換であること，すなわち \[ \tau_{H', G'_1, G'_2} \circ F_1 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) = F_2 (\varphi_H, \varphi_1, \varphi_2) \circ \tau_{H, G_1, G_2} \] を示せばよい．これは定義に従って丁寧に計算すれば確かめられる．